概率论第三章 随机向量函数的分布

继上篇文章最后一部分的补充内容，求随机变量Z = g(X,Y)的概率密度$f_Z(z)$

分布函数微分法

先求$Z=g(X,Y)$ 的分布函数

$$F_Z(z)=\mathbb{P}(g(X,Y)\leq z)=\int\int_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

其中$D=\{(x,y):g(x,y)\leq z\}$
若可将$F_Z(z)$ 直接计算出来，并判断它除有限多个点外,有连续的导数，则求导数$F_Z^{\prime}(z)$,所求概率密度为

$$\left.f_Z(z)=\left\{\begin{array}{ll}F_Z^{\prime}(z),&\text{若}&F_Z^{\prime}(z)&存在\\0,&\text{若}&F_Z^{\prime}(z)&\text{不存在}.\end{array}\right.\right.$$

若$F_{\mathrm{Z}}(z)$ 的具体表达式不易求出，可采用变量代换、交换积分次序等步骤，将双重积分变为

$$F_Z(z)=\cdots=\int_{-\infty}^zp(u)\mathrm{d}u$$

则$f_Z(z)=p(z).$

和的分布

设$(x,y)$ 的联合概率密度为$f(x,y)$, 则$Z=X+Y$ 的概率密度

$$f_z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)\mathrm{d}x$$

或

$$f_z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)\mathrm{d}y.$$

注 若X 和Y 相互独立，则$Z=X+Y$ 的概率密度为

$$f_z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\mathrm{d}x$$

或

$$f_z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_Y(y)f_X(z-y)\mathrm{d}y$$
上两式统称为卷积公式，记作$f_Z=f_X*f_Y$

商的分布

设$(x,y)$ 的联合概率密度为$f(x,y)$, 且$Y\neq0$,则$Z=\frac XY$ 的概率密度

$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|x|f(x,xz)\mathrm{d}x,$$

$H=XY$概率密度

$$f_H(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac1{|x|}f(x,\frac zx)\mathrm{d}x.$$
若X 和Y 相互独立，则$Z=\frac XY$ 的概率密度

$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|x|f_X(x)f_Y(xz)\mathrm{d}x,$$

$H=XY$概率密度

$$f_H(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac1{|x|}f_X(x)f_Y(\frac zx)\mathrm{d}x.$$

例题

例4 某公司提供一种地震保险，保费$\gamma$的概率密度为

$$\left.f(y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac y{25}e^{-y/5},&\text{当 }y>0,\\0,&\text{其他}.\end{array}\right.\right.$$

保险赔付$x$的概率密度为

$$\left.g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac15\mathrm{e}^{-x/5},&\text{当 }x>0,\\0,&\text{其他}.\end{array}\right.\right.$$
设$x$与$\gamma$相互独立，求$Z=Y/X$的概率密度.
$$\begin{align} f_{z}(z)&=\int_{0}^{\infty}x\cdot\frac{1}{5}\mathrm{e}^{-x/5}\cdot\frac{xz}{25}\mathrm{e}^{-xz/5}\mathrm{d}x\\ &=\frac{z}{125}\int_{0}^{\infty}x^{2}\mathrm{e}^{-x\cdot\frac{1+z}{5}}\mathrm{d}x\\ &=\frac z {125} \frac {\Gamma(3)} {[(1+z)/5]^3}\\ &=\frac{2z}{(1+z)^3} \end{align}$$

特殊

例2 设系统L由两个相互独立的子系统$L_1,L_2$连接而成，连接的方式分别为(i)串联，(ii)并联，(iii)备用(当系统$L_{1}$损坏时， 系统$L_{2}$开始工作)。设$L_1,L_2$的寿命分别为$\chi,\gamma$,已知它们的
概率密度分别为

$$\left.f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}\alpha e^{-\alpha x},&\text{当 }x>0,\\0,&\text{其他}.\end{array}\right.\right.$$

$$\left.f_Y(y)=\left\{\begin{array}{ll}\beta e^{-\beta y},&\text{当 }y>0,\\0,&\text{其他}.\end{array}\right.\right.$$

其中$\alpha>0,\beta>0$ 且$\alpha\neq\beta$. 试分别就以上三种连续方式写出$L$的寿命$z$的概率密度.