概率论复习第5、6章

whu特供概率论复习第4(part)+5章

关于标准正正态分布的期望补充

X~U(0,1)
Ex = 0
Ex$^2$ = 3
Ex$^3$ = 5 * 3 * 1

切比雪夫不等式

对任意随机变量X，若D(X)存在，则对任意$\epsilon > 0$，有
$$P(|X-E(X) \ge \epsilon) \le \frac {D(X)} {\epsilon^2}$$

协方差

计算

$$Cov(X,Y) = E((X-E(X))\cdot(Y-E(Y)))\\ D(X+Y) = D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)\\ Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$$

性质

对称性
$$Cov(X,Y) = Cov(Y,X)$$

常数倍数

$$Cov(aX,bY) = abCov(X,Y)$$

加法

$$Cov(X_1 + X_2,Y) + = Cov(X_1,Y) + Cov(X_2,Y)$$

相关系数

(X,Y)为二维随机变量，若D(X) > 0,D(Y) > 0，则有
$$相关系数\rho = \rho_{XY} = \frac {Cov(X,Y)} {\sqrt {D(X)} \sqrt {D(Y)}}$$
相关系数是无量纲的绝对量，就是随机变量标准化后的协方差。
$$X^* = \frac {X - E(X)} {\sqrt {D(X)}}$$

对于相关系数，档$|\rho| = 1$，X与Y线性相关
另外有以下命题等价

• Cov(X,Y) = 0
• X与Y不相关
• E(XY) = E(X)E(Y)
• D(X+Y) = D(X) + D(Y)

若(X,Y)服从二维正太分布，则X与Y不相关，等价于X与Y相互独立

例题

大数定律

keyword

依概率收敛 伯努利大数定律 辛钦大数定律 独立同分布的中心极限定理
李雅普诺夫中心极限定理 棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理

例题

切比雪夫

$$二项分布X\sim B(200,0.9)\\ E(x) = 200 \times 0.9 = 180\\ D(x) = np(1-p) = 18 \\ P(175 \le x \le 185) = P(|x - 180| \le 5)\\ \ \ \ \ \ =1 - P(|x - 180| \ge5) \le \frac {D(x)} {5^2}$$