概率论第3章随机向量及其分布例题指引

whu特供概率论第三章复习- 随机向量及其分布

brief

• 概率论第3章随机向量及其分布例题指引
  • brief
  • 3-1
    • 分布律
      • 二维离散型随机变量
      • 连续型随机变量
  • 3-2
    • 边缘分布
      • 离散型随机变量
      • 连续型随机变量
    • 联合密度函数，边缘密度函数，条件概率密度
      • 知识点预览[^1]
      • 例题
  • 3-3
    • 两个随机变量X,Y的独立性
    • Z=X+Y,Z=Y/XZ=XY的概率密度
      • Z=X+Y

在本文中你将复习以下的例题
二维随机变量(X,Y) (X,Y)的分布函数
离散型随机变量(x,Y)的分布律
连续型随机变量(X,Y)的概率密度
离散型随机变量(X,Y)的边缘分布律
连续型随机变量(X,Y)的边缘概率密度
条件分布函数 条件分布律 条件概率密度
两个随机变量XY的独立性
Z=X+Y,Z=Y/XZ=XY的概率密度
M=max(X,Y},N=min(X,Y)的概率密度
本篇博文以习题为主，不包含知识点，因为笔者认为例题已经能很好的诠释知识点了。

知识点可以参考这位博主的文章
概率论与数理统计_梦里一声何处鸿的博客-CSDN博客

部分分布模型还请见笔者的上篇文章
一些解题用到的trick会在题解之前给出。

3-1

1； 2；3；6

分布律

二维离散型随机变量

直接列表求就行了
独立

古典概型

连续型随机变量

非负连续性随机变量小结论，大概用不到，了解一下此类证明题的方法

3-2

P86: 4，9 P87：10，13 P88: 14, 15，

边缘分布

离散型随机变量

一种是通过联合分布律，计算总数然后得到分数也就是边缘分布律
另一种是利用联合分布律定义和求解过程，直接求得边缘分布律（如求X时，Y=Any，就像不考虑Y一般求X的单随机变量分布律）

连续型随机变量

确定常数就重积分，
已知联合概率密度求边缘概率密度
$$f_X(x) = \sum_{-\infty}^{infty} f(x,y) dy$$

这里有两道和圆的面积相关的密度和概率求解
重积分的极坐标形式求解

几何推理和概率密度的定义，面积-均匀分布

联合密度函数，边缘密度函数，条件概率密度

知识点预览¹

$$条件概率密度= \frac{联合概率密度} {边缘概率密度} \\ \\ f_{X|Y}(x|y)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}$$
独立的随机变量

• $p(x,y)=P_X(x) \times P_Y(y)$

不独立的随机变量

• 如果已知联合分布函数$F(x,y)$那么它的二阶偏导数就是联合密度函数$p(x,y)=\frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y}$
• 如果已知x,y各自的边际密度函数和条件密度，那么$p(x,y)=p_Y(y) × p(x|y)或p(x,y)=p_{X}(x)\times{p(y|x)}$
• 如果什么都不知道，或知道很少，那就根据理由不充分原理猜一个吧，然后根据获取新信息，使用贝叶斯推断逐步得到你想要的。

例题

3-3

P88: 17，18，19，20
P89：22，24，25
P90：34，35

两个随机变量X,Y的独立性

随机变量是否相互独立，联合密度函数等于两个边缘密度函数的积

Z=X+Y,Z=Y/XZ=XY的概率密度

Z=X+Y

方法1-卷积公式
$f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X}(z-y)f_{Y}(y)\mathrm{d}y$
注意z和x,y的定义域关系。比如这道题画了图，分段列积分。
方法2
先求分布函数$F_Z(z)$
$$\begin{aligned} F_{z}\left(z\right)& =P\{Z\leqslant z\}=P\{X+Y\leqslant z\} \\ &=\iint_{x+y\leqslant z}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned}$$
当然这个过程也要考虑到定义域也要画图辅助
然后再对z求导，得到z的概率密度函数

如果随机变量离散还有这样的结论

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1. 引用自两个不独立的随机变量，怎么求二者的联合密度函数？ - 知乎 (zhihu.com)
   and 图解联合概率密度、边缘概率密度、条件概率密度之间的关系_画联合概率密度图怎么画_Uncertainty!!的博客-CSDN博客 ↩︎