概率论部分第六章和部分第七章补充

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第六章补充

关于总体的样本方差的期望和方差求法。

在本题中，首先需要求 $S^2$ 的期望和方差，这个可以直接水掉，注意 $E(X^2_i)$ 的求法，需要用到公式 $E(x^2) - E(x)^2 = D(x)$ 。
其次求方差,这里借助 $\chi^2$ 分布，
对于总体 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 有
$\frac {(n-1)S^2} {\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
得到 $S^2$ 的一个变形的方差，再根据方差的系数性质得到 $S^2$ 的方差。

这道题求使得原式符合 $\chi^2$ 分布的系数值。
我们要使得原多项式中每项符合标准正态 $N(0,1)$ 分布。
列出每一项的数学期望和方差，一般方差会是0，方差取系数倍数。然后最右边的 $\chi^2(n)$ 的n则为左边能做出多少项，一般就是 $(x_i\pm x_j \pm \cdots)^2$ 的个数
第二题正常打开水掉就行。