概率论第七章

参数估计

矩估计

如何求矩估计量?

假如某概率密度函数或者分布律有k个未知参数。那么
$KaTeX parse error: Can't use function '\^' in math mode at position 234: …X_i^2}\\ 解出参数 \̲^̲{\theta}_m = \^…$

另外, $E(X^m) = \int x^m f(x)dx$
$A_2 - A_1^2 = \frac 1 n \sum (X_i - \bar X) ^2$

求 $E(|X|)$ ，这里用到了 $|\bar {X}|$ ，题目用到了但书上没有出现是否可以用。

注意一点就是 $D(\bar X) = D(U(0,\theta) / n)$

另外，这道题的最大似然估计值的数学期望推导在这,均匀分布U=max( $X_1,X_2,\dots X_n$ )的数学期望
方差是 $\frac {n (\theta - 0)^2} {(n+1)^2(n+2)}$

最大似然估计法

$KaTeX parse error: Can't use function '\^' in math mode at position 54: …_k;\theta)\\ 选取\̲^̲{\theta}使得L最大。\…$

单值反函数，若对定义域每一个自变量x，其对应的函数值f（x）是唯一的，则称f（x）是单值函数。

最大似然估计不变性设 $\theta$ 的函数 $u=u(\theta),\theta\in\Theta$ 具有单值反函数 $\theta=\theta(u)$ , $u\in\mathbf{u}$ .又设 $\hat{\theta}$ 是X的概率分布中参数 $\theta$ 的最大似 $\text{然估计,则}\hat{u}=u(\hat{\theta})\text{是}u(\theta)\text{的最大似然估计}.$
矩估计和最大似然估计推导过程
另外补充一些

N( $\mu$ ,1)	b(m, $\theta$ )	f(t) = $\frac 1 \theta e^{-(t-c)/\theta} (c \le x_1 \le x_2 \cdots)$
$KaTeX parse error: Can't use function '\^' in math mode at position 1: \̲^̲{\mu} = \bar x$	$KaTeX parse error: Can't use function '\^' in math mode at position 1: \̲^̲\theta = \frac …$	$KaTeX parse error: Can't use function '\^' in math mode at position 1: \̲^̲c = x_1 \quad \…$

无偏估计和无偏性

常见题型，已知某个多项式是 $\theta$ 的无偏估计量，如此就可以依靠定义求得一些未知量。

$E(\text{ln}x) = \int \text{ln}x\cdot f(x) dx$

将不是无偏估计的估计化为无偏估计

比如均匀分布的最大似然估计量不是无偏估计量，那么可以将其转化
$KaTeX parse error: Can't use function '\^' in math mode at position 1: \̲^̲{\theta_2} = \f…$ ，同时这个无偏估计的方差也就是 $KaTeX parse error: Can't use function '\^' in math mode at position 19: …frac {n+1} {n} \̲^̲\theta_1) = \fr…$

估计量评判标准

两个无偏估计量 $KaTeX parse error: Can't use function '\^' in math mode at position 1: \̲^̲\theta_1 和 \^\t…$ ,如果对任意 $\theta \in \Theta$ 有 $KaTeX parse error: Can't use function '\^' in math mode at position 3: D(\̲^̲\theta_1) \le D…$ ，则称 $KaTeX parse error: Can't use function '\^' in math mode at position 1: \̲^̲\theta_1$ 更有效。